フーリエ 級数 展開。 フーリエ級数展開式の導出と矩形波・鋸波のフーリエ係数の計算

フーリエ級数展開の公式と意味

フーリエ 級数 展開

求め方は簡単で 13 式の性質を使って、• わかりやすくするために 14 式の和の部分を展開します。 このブログでは主に大学以上の物理を勉強して記事にわかりやすくまとめていきます。 ・解析力学• ・流体力学• ・熱力学• ・量子統計• ・CAE解析(流体解析)• noteで内容は主に「プログラミング言語」の勉強の進捗を日々書いています。 また、「現在勉強中の内容」「日々思ったこと」も日記代わりに書き記しています。 youtubeではオープンソースの流体解析、構造解析、1DCAEの操作方法などを動画にしています。 Qiitaではプログラミング言語の基本的な内容をまとめています。 カテゴリー• 4 Twitter.

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フーリエ級数展開とフーリエ変換の違いを教えて下さい。よろしく...

フーリエ 級数 展開

のフーリエ級数による近似。 最初の4項まで フーリエ級数(フーリエきゅうすう、 Fourier series)とは、複雑なや周期信号を、単純な形の周期性をもつ関数の(無限の)和によって表したものである。 フーリエ級数は、フランスの数学者によって金属板の中での熱伝導に関する研究の中で導入された。 は、として表される。 フーリエの研究の前までには、一般的な形での熱伝導方程式の解法は知られておらず、熱源が単純な形である場合、例えばなどの場合の特別な解しかえられていなかった。 この特別な解は現在では固有解と呼ばれる。 フーリエの発想は、複雑な形をした熱源をサイン波、コサイン波のとして考え、解を固有解の和として表すものであった。 この重ね合わせがフーリエ級数と呼ばれる。 最初の動機は熱伝導方程式を解くことであったが、数学や物理の他の問題にも同様のテクニックが使えることが分かり様々な分野に応用されている。 フーリエ級数は、、の解析、、、、および などの分野で用いられている。 左辺の三角関数の一つ一つは波打っているにもかかわらず、 x に依らない定数に収束しているのである。 このような不連続な関数まで表せることに興味を抱いたフーリエは、さらに三角級数を詳しく調べ、に出版した著書『熱の解析的理論』の中で、全ての関数は三角級数で書けるということを主張した。 の解の形として、三角級数を仮定するという方法は、フーリエ以前にもらによって行われていたが、三角級数という特別な形を仮定することによって得られる特殊な解と考えられていた。 フーリエの主張は、三角級数は、そのような特別なものではなく、全ての関数が三角級数で表せると大きく出ている。 フーリエの議論は飛躍が多かったため、反論が相次ぎ、この主張は受け入れられなかった。 しかし、フーリエの側にだけ非があるわけではなく、当時のが、このような関数列の収束性などを扱うには未熟で、フーリエの主張の真偽を判定することは難しかったことも関係している。 この後、関数がフーリエ級数で表現できるための条件などを論じるために、、、、などの概念などの見直しが行われ、フーリエ級数論は19世紀数学におけるの厳密化に大きな影響を与えることになった。 またフーリエ級数に始まるの研究は、などの手法を産み、や、、など現代科学の基礎技術としても発展していった。 定義 [ ] 以下で述べる定義は形式的なもので、実際には f x を用いた積分が存在するのかということと、 f x から得られたフーリエ級数が、本当に f x に収束するのかといった事が問題になり、それらを解決するためには f x になどの制約が課される。 にはが用いられる。 f x に収束するフーリエ級数が得られる場合、 f x は フーリエ展開できるという。 複素数値関数のフーリエ級数(複素フーリエ級数) [ ] を用いると、複素型のフーリエ級数を得ることができる。 フーリエ級数の例 [ ] 周期関数以外の関数から周期関数を作り計算することも多い。 直交性 [ ] 三角級数の直交性 [ ] フーリエ級数のようなものが考えられる背景には、関数の直交性がある。 この級数が、元の x に等しいとき、フーリエ展開できるという。 ヒルベルト空間 X について、• 脚注 [ ]• Nerlove, Marc; Grether, David M. ; Carvalho, Jose L. 1995. Analysis of Economic Time Series. Economic Theory, Econometrics, and Mathematical Economics. Elsevier. 参考文献 [ ]• コルモゴロフ、S. フォミーン『函数解析の基礎』下、山崎三郎・柴岡泰光訳、岩波書店、1979年。。 関連項目 [ ]•

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うさぎでもわかるフーリエ級数展開の仕組み・計算法

フーリエ 級数 展開

こんにちは、ももやまです。 工学部の数学で、「フーリエ級数展開」という言葉を聞いたことがある人は多いかと思います。 しかし、「あれなにやってんだ!? 」と思った人もいるかもしれません。 今回はそんな「フーリエ級数展開」について仕組み・計算方法についてわかりやすく説明していきたいと思います。 1.フーリエ級数展開とは まずは下のグラフをみてみましょう。 この関数のグラフは ある一定の間隔で同じ形の曲線を繰り返していますね。 このような関数のことを 周期関数と呼びます。 フーリエ級数展開は、周期関数を皆さんおなじみの 偶関数 と奇関数 の2つに分解して表そう! というやつです。 2.フーリエ級数展開で用いる三角関数の積分 フーリエ級数展開の公式を説明する前にまずは下の公式を導出するために必要な三角関数の積分の復習をしましょう。 三角関数の加法定理・倍角の公式・積和の公式などを用いた積分を行います。 加法定理・倍角・積和公式を忘れてしまった人は下の復習用記事を載せたのでそちらをご覧ください。 まずは , 単体の積分を見てみましょう。 つぎに、 と が2つ組み合わさったバージョンを見ていきましょう。 [導出] は偶関数、 は奇関数なのでその積は奇関数となる。 最後に公式2の の場合も確かめておきましょう。 この積分は0にならないので要注意です。 (途中で公式1を使用しています。 以上で確認は終了です。 こちらで、周期 が の場合について説明し、次の第4章で 以外に拡張したバージョンの2つにわけて紹介しています。 1 計算公式 まずは周期関数 の周期 が に固定されたバージョンを説明したいと思います。 最初に公式をみてみましょう。 とにかく 分が長さに入っていればOK。 色をつけて公式を少しわかりやすくしてみました! つまり、周期関数 を 偶関数 , , , …… と奇関数 , , , …… を用いて表せるよってことなのです! 少し難しい用語を使うと、周期関数 を偶関数 , , , …… と奇関数 , , , …… の 1次結合で表せるってことです! しかし、フーリエ係数 , の求め方が複雑だったりなぜか初期値が となってたり がなかったりしますね。 なぜこんな値になっているのかを下のほうで説明していきましょう。 i 初期値の導出 まずは初期値のフーリエ係数 の公式導出方法です。 すると、 と計算できますね。 ii cos の項の導出 つぎに偶関数 のフーリエ係数 を導出してみましょう。 さらに両辺を から で定積分しましょう。 すると、 と計算できます。 ここで初項 を考えてみましょう。 さらに両辺を から で定積分しましょう。 すると、 となりますね! と計算できます。 ところで の初項 はあったのになぜ の初項 がないのかと思った人もいるかもしれません。 なので、 奇関数の初項 は計算する必要がないのです! 2 f t が偶関数・奇関数の場合 周期関数 が偶関数・奇関数の場合はより少ない計算量でフーリエ級数展開を求めることができます。 i f t が偶関数の場合 が偶関数の場合、 と の積 は 奇関数となりますね。 ii f t が奇関数の場合 が奇関数の場合、 と の積 は 奇関数となりますね。 (もちろん です。 ) 周期 の周期関数 が偶関数のとき、 となる。 (フーリエ余弦級数、フーリエ・コサイン級数と呼ばれます。 ) また、周期関数 が奇関数のとき、 , となる。 (フーリエ正弦級数、フーリエ・サイン級数と呼ばれます。 ですが、実際の周期関数(波形とか)が に固定されてるなんてそんな都合のいいことはありませんね。 なので今度はあらゆる周期に対応したフーリエ級数展開の公式を考えてみましょう。 ここで、物理をやったことがある人なら「見たことあるような式」だなと思ったかもしれません。 が となったので , の値も当然変わりますね。 それぞれ計算していきましょう。 まず周期 の場合の , の積分範囲を から と書き換えます。 とにかく1周期分積分していればどこでもよい。 こちらも色などをつけてみやすく表現したバージョンも用意しました。 周期が から になっても周期関数が が偶関数・奇関数の場合は計算を楽にすることができます。 周期 の周期関数 が偶関数のとき、 となる。 (フーリエ余弦級数、フーリエ・コサイン級数と呼ばれます。 ) また、周期関数 が奇関数のとき、 , となる。 (フーリエ正弦級数、フーリエ・サイン級数と呼ばれます。 のフーリエ級数展開を求めなさい。 さらにグラフより が成り立つので は偶関数である。 5.フーリエ級数展開を用いた無限級数の求め方 先ほど求めたフーリエ級数展開から様々な無限級数の和を導くことができます。 (この無限級数はバーゼル問題と呼ばれています。 1 のフーリエ級数展開を求めなさい。 1 のフーリエ級数展開を求めなさい。 1 のフーリエ級数展開を求めなさい。 7.練習問題の答え 解答1 1 が成立するので、 は偶関数である。 2 は において連続なので とフーリエ級数展開の値が において一致する。 解答2 1 が成立するので、 は偶関数である。 i 、つまり のとき において なので、 である。 ii 、つまり のとき において なので、 である。 2 は において連続なので とフーリエ級数展開の値が において一致する。 すると、グラフは となる。 グラフより、 が成立するので は奇関数となる。 2 は において連続なので とフーリエ級数展開の値が において一致する。 8.さいごに 今回はフーリエ級数展開の簡単なしくみ、および計算方法を例題などを踏まえながらまとめました。 この記事を読んでフーリエ級数展開の仕組みなどが少しでもわかっていただければ本当にありがたいです。 余裕があれば複素フーリエ級数展開、フーリエ変換についてもまとめてみようかと思います。 また、フーリエ級数展開の計算は結構めんどくさいものが多いのでしっかりと計算練習をしておきましょう。 : 途中で不連続な箇所があるような関数だと思ってください。 例えば、練習3の のような関数でもフーリエ級数展開できるよってことです。 : ではなく となっているのは、関数 がある点 において連続ではない場合、 とフーリエ級数展開の結果が一致しないことがあるためです。 (逆にいうと、関数 がある点 において連続であれば、フーリエ級数展開と の値が一致するので等号 となる。 : の が1スタートではなく0スタートなのもこれが理由。 : 心拍数の平均が60bpm〜80bpmなので0. 75〜1秒に1周期となる。 : 角速度とは単位時間あたりに進む角度を表します。 今回の場合は角度というよりも波の変化の速さと考えるのがいいと思います。 : がついているのは の部分が偶数のとき0、奇数のとき-2となるため。 にすることで が奇数のときだけうまく を足すことができる。 momoyama1192.

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