フーリエ 級数 求め 方。 複素数型のフーリエ級数展開とその導出

フーリエ級数の求め方を即効で例題で確認してみよう!

フーリエ 級数 求め 方

こんにちは、ももやまです。 工学部の数学で、「フーリエ級数展開」という言葉を聞いたことがある人は多いかと思います。 しかし、「あれなにやってんだ!? 」と思った人もいるかもしれません。 今回はそんな「フーリエ級数展開」について仕組み・計算方法についてわかりやすく説明していきたいと思います。 1.フーリエ級数展開とは まずは下のグラフをみてみましょう。 この関数のグラフは ある一定の間隔で同じ形の曲線を繰り返していますね。 このような関数のことを 周期関数と呼びます。 フーリエ級数展開は、周期関数を皆さんおなじみの 偶関数 と奇関数 の2つに分解して表そう! というやつです。 2.フーリエ級数展開で用いる三角関数の積分 フーリエ級数展開の公式を説明する前にまずは下の公式を導出するために必要な三角関数の積分の復習をしましょう。 三角関数の加法定理・倍角の公式・積和の公式などを用いた積分を行います。 加法定理・倍角・積和公式を忘れてしまった人は下の復習用記事を載せたのでそちらをご覧ください。 まずは , 単体の積分を見てみましょう。 つぎに、 と が2つ組み合わさったバージョンを見ていきましょう。 [導出] は偶関数、 は奇関数なのでその積は奇関数となる。 最後に公式2の の場合も確かめておきましょう。 この積分は0にならないので要注意です。 (途中で公式1を使用しています。 以上で確認は終了です。 こちらで、周期 が の場合について説明し、次の第4章で 以外に拡張したバージョンの2つにわけて紹介しています。 1 計算公式 まずは周期関数 の周期 が に固定されたバージョンを説明したいと思います。 最初に公式をみてみましょう。 とにかく 分が長さに入っていればOK。 色をつけて公式を少しわかりやすくしてみました! つまり、周期関数 を 偶関数 , , , …… と奇関数 , , , …… を用いて表せるよってことなのです! 少し難しい用語を使うと、周期関数 を偶関数 , , , …… と奇関数 , , , …… の 1次結合で表せるってことです! しかし、フーリエ係数 , の求め方が複雑だったりなぜか初期値が となってたり がなかったりしますね。 なぜこんな値になっているのかを下のほうで説明していきましょう。 i 初期値の導出 まずは初期値のフーリエ係数 の公式導出方法です。 すると、 と計算できますね。 ii cos の項の導出 つぎに偶関数 のフーリエ係数 を導出してみましょう。 さらに両辺を から で定積分しましょう。 すると、 と計算できます。 ここで初項 を考えてみましょう。 さらに両辺を から で定積分しましょう。 すると、 となりますね! と計算できます。 ところで の初項 はあったのになぜ の初項 がないのかと思った人もいるかもしれません。 なので、 奇関数の初項 は計算する必要がないのです! 2 f t が偶関数・奇関数の場合 周期関数 が偶関数・奇関数の場合はより少ない計算量でフーリエ級数展開を求めることができます。 i f t が偶関数の場合 が偶関数の場合、 と の積 は 奇関数となりますね。 ii f t が奇関数の場合 が奇関数の場合、 と の積 は 奇関数となりますね。 (もちろん です。 ) 周期 の周期関数 が偶関数のとき、 となる。 (フーリエ余弦級数、フーリエ・コサイン級数と呼ばれます。 ) また、周期関数 が奇関数のとき、 , となる。 (フーリエ正弦級数、フーリエ・サイン級数と呼ばれます。 ですが、実際の周期関数(波形とか)が に固定されてるなんてそんな都合のいいことはありませんね。 なので今度はあらゆる周期に対応したフーリエ級数展開の公式を考えてみましょう。 ここで、物理をやったことがある人なら「見たことあるような式」だなと思ったかもしれません。 が となったので , の値も当然変わりますね。 それぞれ計算していきましょう。 まず周期 の場合の , の積分範囲を から と書き換えます。 とにかく1周期分積分していればどこでもよい。 こちらも色などをつけてみやすく表現したバージョンも用意しました。 周期が から になっても周期関数が が偶関数・奇関数の場合は計算を楽にすることができます。 周期 の周期関数 が偶関数のとき、 となる。 (フーリエ余弦級数、フーリエ・コサイン級数と呼ばれます。 ) また、周期関数 が奇関数のとき、 , となる。 (フーリエ正弦級数、フーリエ・サイン級数と呼ばれます。 のフーリエ級数展開を求めなさい。 さらにグラフより が成り立つので は偶関数である。 5.フーリエ級数展開を用いた無限級数の求め方 先ほど求めたフーリエ級数展開から様々な無限級数の和を導くことができます。 (この無限級数はバーゼル問題と呼ばれています。 1 のフーリエ級数展開を求めなさい。 1 のフーリエ級数展開を求めなさい。 1 のフーリエ級数展開を求めなさい。 7.練習問題の答え 解答1 1 が成立するので、 は偶関数である。 2 は において連続なので とフーリエ級数展開の値が において一致する。 解答2 1 が成立するので、 は偶関数である。 i 、つまり のとき において なので、 である。 ii 、つまり のとき において なので、 である。 2 は において連続なので とフーリエ級数展開の値が において一致する。 すると、グラフは となる。 グラフより、 が成立するので は奇関数となる。 2 は において連続なので とフーリエ級数展開の値が において一致する。 8.さいごに 今回はフーリエ級数展開の簡単なしくみ、および計算方法を例題などを踏まえながらまとめました。 この記事を読んでフーリエ級数展開の仕組みなどが少しでもわかっていただければ本当にありがたいです。 余裕があれば複素フーリエ級数展開、フーリエ変換についてもまとめてみようかと思います。 また、フーリエ級数展開の計算は結構めんどくさいものが多いのでしっかりと計算練習をしておきましょう。 : 途中で不連続な箇所があるような関数だと思ってください。 例えば、練習3の のような関数でもフーリエ級数展開できるよってことです。 : ではなく となっているのは、関数 がある点 において連続ではない場合、 とフーリエ級数展開の結果が一致しないことがあるためです。 (逆にいうと、関数 がある点 において連続であれば、フーリエ級数展開と の値が一致するので等号 となる。 : の が1スタートではなく0スタートなのもこれが理由。 : 心拍数の平均が60bpm〜80bpmなので0. 75〜1秒に1周期となる。 : 角速度とは単位時間あたりに進む角度を表します。 今回の場合は角度というよりも波の変化の速さと考えるのがいいと思います。 : がついているのは の部分が偶数のとき0、奇数のとき-2となるため。 にすることで が奇数のときだけうまく を足すことができる。 momoyama1192.

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周期2ℓのフーリエ級数の公式

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: : :• 離散時間フーリエ変換 やらない夫 さて,離散時間信号ってのがどんなものだかわかったところで,その周波数スペクトルがどうなるかを考えていこう. やる夫 要するにフーリエ変換すればいいんだお? 何か難しいのかお? やらない夫 ん? 難しくないと思うか.たのもしいじゃないか. やる夫 だって,普通にフーリエ変換の公式に入れればいいんじゃないかお? やらない夫 連続時間のフーリエ変換の式をそのまま使えばいいって意味か? じゃあ,そうすると何が起きるかって点から議論を始めるか.対象とする離散時間信号を と書こう. は整数だ.これを無理やり連続時間信号だとみなしてフーリエ変換するわけだ.ということでいいか? やる夫 そうだお.それだと何か問題があるのかお? やらない夫 無理やり連続時間信号にしたものを と書こう. と は,同じ という記号だが,基本的には別物だと考えてくれ.で, と の関係は 5. 2 やる夫 あれ? 連続時間なのに は小文字でいいのかお? やらない夫 ああ,この場合は正規化角周波数で考えるのが正解だ.連続時間にはしたものの,この場合の時間の単位は「秒」ではないからな.「単位時間」は,離散時間だったときの「1 サンプル時刻」に一致する.つまり正規化された時間で考えているわけだ. やる夫 そっか,連続時間だからといって必ずしも非正規化周波数で考えるわけではないんだお.あくまで,時間が正規化されているかどうかが問題なんだお. やらない夫 そういうことだ.話を戻そう.さっきの式のフーリエ変換を計算するとどうなるかという話だ. やる夫 に をかけて積分するんだお.…あれ? でも は が整数のとき以外は 0 だから,積分しても 0 になるんだお….これじゃダメだお.話だお. やらない夫 そうだな.もとの離散時間信号 がどんなものだったとしても,今のように連続信号とみなしてフーリエ変換する方法では必ず 0 になってしまうので意味がない.別の方法が必要となる. やらない夫 というわけで,別の方法を考えよう.ひとつの考え方はこうだ. が整数のところ以外で が値を持たないのが問題なので,値を持たせてやる.どんな値を持たせるかというと, と の間は, のときの値,つまり と等しい考えよう.こんな階段状のグラフを積分するわけだ.これなら積分が値を持つことができる. となるわけだ.これを離散時間フーリエ変換 Discrete-Time Fourier Transform; DTFT と呼んでいる. やる夫 あれ,あっさり結論に達したお. やらない夫 簡単だろ.フーリエ変換の公式 と見比べても,その離散時間版として違和感のない形になっているんじゃないかと思う. やる夫 積分が総和に変わった程度だお.自然だと思うお. やらない夫 というわけで,これで話を終わってもいいんだが,同じ式を別の見方で導いてみようと思う. やる夫 えー,もう結論にたどり着いたんだから,これ以上面倒な話はいらないお. やらない夫 そう言うな.こっちの考え方も重要なので知っておいた方がいい.話を少し巻き戻して,離散時間信号 を連続時間化するところに戻ろう. が整数のところで の値をそのまま持ってきただけでは,面積がないので積分して 0 になってしまってまずかったわけだ. やる夫 そうだったお. やらない夫 そこで,各整数時刻の値を,積分しても値が残るようにしておくことにする.どういうことかというと,デルタ関数をかけておくということだ. 5. 5 5. 6 5. 7 やる夫 あっ,式 と同じになったお. やらない夫 というのが,離散時間フーリエ変換の定義のもうひとつの考え方だ.「もうひとつの」と言ったが,よく考えてみると,どちらの考え方も同じことを意味している.被積分関数を短冊状に拡張するにしろ,被積分関数にデルタ関数をかけるにしろ, の区間での積分,つまり面積が になるような操作を行っている点は同じだ.短冊のひとつひとつを,面積を保ったままギュッと幅のない線に押しつぶした結果,高さが無限大になるイメージだ. やる夫 うーん,ていうか,その辺も含めてやっぱりどっかで聞いたような話だお. やらない夫 ああ.どこで聞いた話だったか覚えているか? やる夫 えーと,確か の一番最後だお.あのときは周波数領域で,フーリエ係数にデルタ関数をかけたものを考えて,逆フーリエ変換が計算できるようにしたんだったお. やらない夫 そう.今回の話は,あのときの話と本質的に同じだ.ただし,時間領域と周波数領域が逆になっている.フーリエ変換も逆フーリエ変換も計算上はほとんど同じだったからな.時間と周波数を逆に見たときに同じようなことが起きるのは当然のことだ. やる夫 あのときは時間領域で周期的な関数を考えていて,そういう関数は周波数領域では離散的なスペクトルになったんだったお.今回は逆で,時間領域が離散的なんだお. やらない夫 お,すごく大事な点に足を踏み込んだな. やる夫 な,なんだお? やらない夫 離散的な周波数スペクトルを持つ関数は,時間領域では周期的だったわけだ.じゃあ,離散的な時間信号は,周波数領域ではどうなっていると思う? やる夫 えっと…,その流れでいうと周期的ってことになるお. やらない夫 だよな.その周期はどうなる? やる夫 えっ,どうなるんだお.周期時間関数のスペクトルの場合,周波数成分が ごとに値を持っているんだとすると,時間領域での周期は だったんだお.今回の話に当てはめると,時間領域で 1 ごとに値を持つような離散時間関数なんだから,周波数領域での周期は… つまり, ってことかお? やらない夫 その通り.つまり,離散時間信号の周波数スペクトルは常に周期的になって,その周期は だ.同じスペクトルの形状が角周波数 ごとに繰り返し現れることになる. やる夫 ごとに繰り返す…あれ? この話もどこかで聞いた気がするお. やらない夫 ああ,今回の話は伏線回収ポイントだらけだ.どこで聞いた話だった? やる夫 えーと,離散時間の三角関数とか複素指数関数は, んだお.そのまま角周波数を増やしていっても,同じ信号が繰り返し現れるだけなんだったお. やらない夫 そうだったな.周波数スペクトルってのは,いろんな周波数の複素指数関数が,それぞれどういう割合で含まれているかを表しているものだっただろ.ところが,離散時間の複素指数関数は角周波数を 増やすと同じものに戻って,以下繰り返しになるんだった.てことは,周波数成分の含まれている割合を表示してみたときに ごとの繰り返しになるのは当然の帰結だろ.常識的に考えて… やる夫 ああ,そりゃそうだお.例えば角周波数が , , …の複素指数関数ってのは全部同じものなんだお.だからそれらの成分が元の信号に含まれている割合は同じじゃなきゃおかしいお. やらない夫 じゃあ次は逆変換だ. から に戻す処理だな.まず,逆フーリエ変換の公式 でそのまま戻すとどうなると思う? やる夫 ええと, はそもそも, の各時刻にデルタ関数をかけてからフーリエ変換したものだったお.だから普通に逆フーリエ変換すると,デルタ関数倍された に戻るんだお. やらない夫 正解だ.じゃあ, まで戻すためにはどうしたらいいと思う? やる夫 ん? それもどこかで聞いた気がするお.…ああ,これも について聞いたときだお.あのときは,周期的な時間関数をフーリエ変換すると無限大になってデルタ関数が出てきちゃうから,積分範囲を 1 周期分だけにしたんだったお.今回は周期的な周波数スペクトルを逆フーリエ変換するんだから,やっぱりその積分範囲を 1 周期分だけにすればよいってことかお? やらない夫 おお,いい推測だ.つまり• 離散時間 整数 で定義された関数 のうち実用上重要なものの多く に対して,式 で計算される を の離散時間フーリエ変換と呼ぶ. あるいはこの計算をすること自体を離散時間フーリエ変換と呼ぶ• から,式 によって元の が復元できる.この計算を離散時間フーリエ逆変換と呼ぶ. あるいは「 は の離散時間フーリエ逆変換である」という言い方もする• は正規化角周波数を表す連続変数である. は に含まれる正規化角周波数 の振動成分の量 振幅・位相 を表す.• は周期 で周期的である.通常 の範囲のみを考える.• , , をそれぞれ,離散時間信号 の振幅スペクトル,位相スペクトル,パワースペクトルと呼ぶ. やる夫 フーリエ変換のときの みたいな表し方はないのかお? やらない夫 万人に広く受け入れられている書き方はないようだな.以降では,こんな風に書くことと約束しよう. 5. 14 5. 15 5. 16 5. 17 5. 18 やる夫 あれ? がフーリエ変換のときと区別されてないお. やらない夫 ああ,どっちを表しているかは空気読んで判断しろ. やる夫 ひどいお. やらない夫 まあ実際混乱することも多いから注意してくれ.時間領域については,時間変数が実数か整数かで見分けることになる.丸括弧か角括弧で見分ける手もあるな.ただし教科書によっては括弧の種類を区別していない場合もあるので注意だ. 周波数領域では,我々は みたいに大文字の変数を使う場合は非正規化周波数, のような小文字の場合は正規化周波数ということにしているので,まあそれである程度判断できるかな.もっとはっきり区別したいときに,離散時間フーリエ変換 を.

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【フーリエ級数】はじめての複素フーリエ級数展開/複素フーリエ係数の求め方

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そして今まで 軸、 軸と呼んでいたものを と に置き換えてしまったのが下の図である。 フーリエ級数のイメージはこのようなものである。 結局 「 方向の成分は何か? 方向の成分は何か?」 を調べるのがフーリエ級数である。 関数もベクトルと同じように扱うためには、とりあえずは下のように決めてやれば良い。 実際は、 であったため、ベクトルの次元は無限に大きい。 フーリエ係数を求める 2次元ベクトルで の成分を求める場合は、求めたいベクトル に対して、 のベクトルで内積を取れば良い。 そうすれば、図の上のように が求められる。 の場合も同様にできないだろうか? できる。 ただし、 が 直交する場合である。 実はフーリエ級数は 関数空間の話なので踏み込まないが、上のベクトルから拡張するためには以下に注意する。 関数空間で「 内積」を定義する• などが 直交するか調べる 関数の内積の定義 ここでのフーリエ級数での二つの関数 の内積の定義は、 ここでフーリエ級数においては• :フーリエ級数展開 される側の関数• : などの三角関数 である。 例えば、 とすると、 となる。 なんとなく フーリエ級数の形が見えてきたと思う。 三角関数の直交性 内積を定義すると、関数同士が 直交しているかどうかわかる! では、 の内積を計算してみる。 となり、 と は 直交している!したがって、初めに見た絵のように座標軸が直交しているようなイメージになる。 自分自身との内積を考える。 として、 となり直交していない。 これは、 が関数空間である大きさ(ノルム)を持っているということである。 などの一般的な三角関数についての内積は以下の通りである。 見ての通り、 自分以外の関数とは直交することがわかる。 したがって、初めにベクトルの成分を内積で取り出せたように、 のフーリエ係数 を「関数の内積」で取り出せそうである。 ベクトル空間との違いは、• 自分同士の内積は• 内積の定義に注意する である。 これを踏まえて以下ではフーリエ係数を導出する。 フーリエ係数の導出 以上の三角関数の直交性さえ理解していれば、フーリエ係数は簡単に導出できる。 まず、周期 の を下のように展開する。 ここで、 と の 内積をとる。 つまり、両辺に をかけて で積分する。 ここで、 の積分に関係のない は の外に出した。 右辺の積分で にならない部分がわかるだろうか? 三角関数の直交性からもちろん の の部分だけが残る!そして自分同士の内積は であった。 したがって、 となり、 を得る。 が欲しい場合は、 と の内積を取れば良い。 つまり、 より、 となる。 と置いているために、 のときも下の形でまとめることができる。 を求める場合は、 と との内積を取れば良い。 つまり、 に をかけて で積分すれば良い。 結果は がないのは、 だからである。 のときは、 の定数項として残っているだけである。 まとめ フーリエ係数は、三角関数の直交性から導出できることがわかっただろうか。 また、平面ベクトルとの比較からフーリエ係数のイメージを持っておくと便利である。 :基底ベクトルとして扱いやすくするためには、規格化しておくのが良いだろうが、ここでは単に を基底としてみている。

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